Ayo2 sera, jgn malas! :D
Pngn nyoba jelasin manifold tanpa persamaan. Heu.. Mulainya dari manaa? *berpikir*
Dari himpunan. :D Himpunan (dlm matematika) adalah suatu kumpulan. Kumpulan apa? Kumpulan objek2 matematika, seperti bilangan, bentuk, dll. Trus, klo kita mw mengkorelasikan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, kita butuh suatu korelasi (atau koneksi?) yg namanya fungsi. Ntar ada pemetaan dll. Hah. Ko jadi pusing gw. :(
Yaudah. Gampangnya aja.. Manifold adalah suatu ruang topologis yg secara lokal bersifat Euclidean (ruang datar). Apa itu 'ruang'? Blm tau gw. Klo ruang vektor linear, gw tau.. Dari definisi ruang vektor linear, kynya gw bisa ambil kesimpulan klo ruang itu yg pastinya adalah suatu himpunan, yg memenuhi kondisi2 tertentu (mungkin ada aksioma yg lebih umum dari aksioma ruang vektor..). Himpunan dari apaa? Dgn kata lain, klo manifold itu 'tempat hidup' suatu objek matematika, apa yg hidup di manifold itu? Hmm.. 'kurva'? 'permukaan'? 'hypersurface'? vektor? ada banyaaaak.. Anggep aja manifold itu suatu himpunan, dan di dalam himpunan manifold itu bisa dibikin banyak sub-himpunan, ntah itu surface, curve, vektor, dll..
Mungkin lebih tepatnya manifold itu bisa dibilang suatu sistem matematika. Apa itu sistem matematika? Sistem matematika = himpunan + operasi pada himpunan tersebut. Eh tunggu duluu.. Di manifold belum didefinisikan operasi deh.. Jadi harusnya blm bisa dibilang sistem matematika..
Klo ruang topologi? Apa itu? Suatu himpunan yg memenuhi 3 syarat. Ada syarat Hausdorff, ada counting apaaa gituh, gw lupa, 1 lg gw lupa. Pokonya syaratnya itu ada 3 ajah. N itu menyangkut pembentukan sub-himpunan di dalam himpunan tersebut. Bisa jg dijabarin syaratnya pake open ball gitu2. Hah. Apa2an. Gw bukan mathematician! :(
Terus? *berpikir lagi*
Intinya, manifold itu 'ruang' dan 'ruang' itu himpunan. Dan sesuai dngn prinsip analytical geometry-nya descartes, aljabar dan geometry bisa disatuin. Mksdnya, suatu representasi aljabar dapat dinyatakan dalam representasi geometry. Dengan demikian, suatu manifold, dapat dianggap sebagai suatu 'permukaan'. (bener ga yah?) :(
Bentar2.. Yg namanya permukaan itu berati menyatakan suatu 'bidang berdimensi-n' terhadap 'ruang datar' berdimensi n+1. Berati utk mendefinisikan suatu manifold dimensi n, kita butuh ruang datar berdimensi n+1? Hmmm.. ternyata tidak perluu. Suatu manifold berdimensi-n tetap dapat dinyatakan hanya dengan ruang dimensi-n. Ntar ada yg namanya teorema egregium-nya Gauss, n gw blm nyampe sana. Ayo semangaaath! :)
Lalulalu? *berpikir*
Tadi kan si manifoldnya dapat dianggap suatu permukaan yah? Hmm.. Sekarang, gimana cara-nya kita mulai memberikan struktur pada manifold tersebut. Awalnya, manifold kan cuma himpunan.. Primitif. Skrng kita pengen si manifold ini jadi 'himpunan yang..'. Lebih khusus.
Pertama, yg paling umum.. Sifat homeomorfisme. Misalkan ada 2 buah manifold. Dan 2 buah manifold ini direlasikan oleh suatu fungsi F. Bila inverse F ada, bersifat 1-1 dan onto, dan F beserta inverse-nya kontinu, maka kedua manifold ini dikatakan homeomorfik (sama secara topologis). Dengan pendefinisian homeomorfisme ini, maka -menurut topologist- sebuah donat itu sama dengan sebuah cangkir, yg cantelan tangannya cuma 1.
Setelah itu, pada suatu manifold, dapat dibuat suatu peta permukaan, disebut patch. Analoginya itu misalkan manifold itu permukaan bumi (permukaan suatu bola memang merupakan suatu manifold), trus kita mau bikin peta bumi! Dengan kata lain, kita mau mengkover permukaan bumi dengan suatu peta. Untuk bikin peta, tentu saja kita butuh sistem koordinat. Berati, yg harus kita lakuin pertama itu tentuin sistem koordinatnya, tentuin titik nol (origin) sistem koordinat, lalu mulai kita mebuat peta. Peta suatu manifold disebut atlas.
Secara umum, suatu manifold tidak dapat dipetakan hanya dengan menggunakan satu sistem koordinat saja. Dengan demikian suatu sistem koordinat, secara umum, hanya akan berlaku lokal pada suatu manifold. Tidak global. Ini maksudnya kalimat "..yg secara lokal bersifat Euclidean (ruang datar)."
Karena itu, suatu manifold dapat dipetakan secara lengkap dengan menggunakan lebih dari 1 sistem koordinat. Peta lengkap ini disebut dengan atlas/chart. Dengan adanya atlas ini, berati suatu manifold telah dipetakan, dan kita dapat melakukan kalkulus padanya (blm ngerti mksdnya apa).
Terus? *berpikir lagi*
Hoooo.. masuk dulu ke differential manifolds. Udah kepanjangan.. ganti halaman baru ajaaa.. :D
(link yg bagus: http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold)
Pngn nyoba jelasin manifold tanpa persamaan. Heu.. Mulainya dari manaa? *berpikir*
Dari himpunan. :D Himpunan (dlm matematika) adalah suatu kumpulan. Kumpulan apa? Kumpulan objek2 matematika, seperti bilangan, bentuk, dll. Trus, klo kita mw mengkorelasikan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, kita butuh suatu korelasi (atau koneksi?) yg namanya fungsi. Ntar ada pemetaan dll. Hah. Ko jadi pusing gw. :(
Yaudah. Gampangnya aja.. Manifold adalah suatu ruang topologis yg secara lokal bersifat Euclidean (ruang datar). Apa itu 'ruang'? Blm tau gw. Klo ruang vektor linear, gw tau.. Dari definisi ruang vektor linear, kynya gw bisa ambil kesimpulan klo ruang itu yg pastinya adalah suatu himpunan, yg memenuhi kondisi2 tertentu (mungkin ada aksioma yg lebih umum dari aksioma ruang vektor..). Himpunan dari apaa? Dgn kata lain, klo manifold itu 'tempat hidup' suatu objek matematika, apa yg hidup di manifold itu? Hmm.. 'kurva'? 'permukaan'? 'hypersurface'? vektor? ada banyaaaak.. Anggep aja manifold itu suatu himpunan, dan di dalam himpunan manifold itu bisa dibikin banyak sub-himpunan, ntah itu surface, curve, vektor, dll..
Mungkin lebih tepatnya manifold itu bisa dibilang suatu sistem matematika. Apa itu sistem matematika? Sistem matematika = himpunan + operasi pada himpunan tersebut. Eh tunggu duluu.. Di manifold belum didefinisikan operasi deh.. Jadi harusnya blm bisa dibilang sistem matematika..
Klo ruang topologi? Apa itu? Suatu himpunan yg memenuhi 3 syarat. Ada syarat Hausdorff, ada counting apaaa gituh, gw lupa, 1 lg gw lupa. Pokonya syaratnya itu ada 3 ajah. N itu menyangkut pembentukan sub-himpunan di dalam himpunan tersebut. Bisa jg dijabarin syaratnya pake open ball gitu2. Hah. Apa2an. Gw bukan mathematician! :(
Terus? *berpikir lagi*
Intinya, manifold itu 'ruang' dan 'ruang' itu himpunan. Dan sesuai dngn prinsip analytical geometry-nya descartes, aljabar dan geometry bisa disatuin. Mksdnya, suatu representasi aljabar dapat dinyatakan dalam representasi geometry. Dengan demikian, suatu manifold, dapat dianggap sebagai suatu 'permukaan'. (bener ga yah?) :(
Bentar2.. Yg namanya permukaan itu berati menyatakan suatu 'bidang berdimensi-n' terhadap 'ruang datar' berdimensi n+1. Berati utk mendefinisikan suatu manifold dimensi n, kita butuh ruang datar berdimensi n+1? Hmmm.. ternyata tidak perluu. Suatu manifold berdimensi-n tetap dapat dinyatakan hanya dengan ruang dimensi-n. Ntar ada yg namanya teorema egregium-nya Gauss, n gw blm nyampe sana. Ayo semangaaath! :)
Lalulalu? *berpikir*
Tadi kan si manifoldnya dapat dianggap suatu permukaan yah? Hmm.. Sekarang, gimana cara-nya kita mulai memberikan struktur pada manifold tersebut. Awalnya, manifold kan cuma himpunan.. Primitif. Skrng kita pengen si manifold ini jadi 'himpunan yang..'. Lebih khusus.
Pertama, yg paling umum.. Sifat homeomorfisme. Misalkan ada 2 buah manifold. Dan 2 buah manifold ini direlasikan oleh suatu fungsi F. Bila inverse F ada, bersifat 1-1 dan onto, dan F beserta inverse-nya kontinu, maka kedua manifold ini dikatakan homeomorfik (sama secara topologis). Dengan pendefinisian homeomorfisme ini, maka -menurut topologist- sebuah donat itu sama dengan sebuah cangkir, yg cantelan tangannya cuma 1.
(gambar dari web adik gw, gw ambil diam2.. sorry sis!)
Setelah itu, pada suatu manifold, dapat dibuat suatu peta permukaan, disebut patch. Analoginya itu misalkan manifold itu permukaan bumi (permukaan suatu bola memang merupakan suatu manifold), trus kita mau bikin peta bumi! Dengan kata lain, kita mau mengkover permukaan bumi dengan suatu peta. Untuk bikin peta, tentu saja kita butuh sistem koordinat. Berati, yg harus kita lakuin pertama itu tentuin sistem koordinatnya, tentuin titik nol (origin) sistem koordinat, lalu mulai kita mebuat peta. Peta suatu manifold disebut atlas.
Secara umum, suatu manifold tidak dapat dipetakan hanya dengan menggunakan satu sistem koordinat saja. Dengan demikian suatu sistem koordinat, secara umum, hanya akan berlaku lokal pada suatu manifold. Tidak global. Ini maksudnya kalimat "..yg secara lokal bersifat Euclidean (ruang datar)."
Karena itu, suatu manifold dapat dipetakan secara lengkap dengan menggunakan lebih dari 1 sistem koordinat. Peta lengkap ini disebut dengan atlas/chart. Dengan adanya atlas ini, berati suatu manifold telah dipetakan, dan kita dapat melakukan kalkulus padanya (blm ngerti mksdnya apa).
Terus? *berpikir lagi*
Hoooo.. masuk dulu ke differential manifolds. Udah kepanjangan.. ganti halaman baru ajaaa.. :D
(link yg bagus: http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold)
No comments:
Post a Comment