slaid sidang besar versi indo.

 

the black and white sacred book wkwkwk.

 

wreath.

I'm trying to make a 'wreath' on my small notebook! :)

dear isaac ♥. x)

Heii, hello! :) 

Udah lama ga nulis2.. Baru sempet nulis skrng.. Ini jg krn harus nulis proposal.. Padahal besok DELF! x( moga 500 ribu gw ga sia2! x(

Well, ahir2 ni gw harus mulai membiasakan diri ma background independence.. Yeaa.. Okay memang background independence itu keren.. Background independence ini yg bedain konsep space n time di Newtonian klasik ma GR..

'Ruang waktu itu mutlak, eksistensi-nya ga bergantung entitas2 lain' -kata Isaac.

'Ruang waktu itu sifatnya relasional a.k.a. background independence' -kata si Om A.E., dari buku-nya Smolin.

Tapi klo bener2 mw konsisten sama GR, ya harus pake background independence lah..

LQG pake ini, sedangkan string tidak. x)

Kata beberapa buku, konsep ruang-waktu mutlak (a.k.a background dependent) ini absurd. x) Isaac sendiri jg ragu2 n ga terlalu pede pas nulis konsep ni di Principia.

.....

Heuu.. Awalnya gw konsen bacanya, sambil coret2.. Lama2 mulai pusing.. n ahirnyaaa malah gambar2 di kertas kotretaaan. :D

Gapapa lah.. itung2 tribute to Isaac. :"> 

Sedikit bnyk krn ngefanz ma dy gw masuk fisika. :D n gw rasa Brian May mirip dy. Bukan cm rambutnya, dy jg bahkan ngambil astrofisik di Imperiaal! hwaaaaaa.. x) cita2 aiing.. lupakaan2.  -___-  Sering ngebayangin gimana klo Isaac dikasi gitar listrik ky Brian May. Hahahaa.. :D

 

Isaac Newton (versi clamp, haha)

Aneeh? :D Heiii, menggambar itu ga perlu baguus, yg penting itu meng-expresi-kan apa yg ada diiiii.. pikiran hati. ♥  :D

Ternyata secara reflex gw msh belum lepas dari gaya gambar manga. -__-  Gawaath. 

Okaay.. Kembali baca2 lagiii.. Semangaaath! x)

my 1st experience with corelDRAW x4. ^^

ceritanya mah kata pengantar..

Hmm.. Sebenernyaa.. gw pribadi kurang nyaman nulis nama seseorang pake gelar.. Tapii ada orang2 yg lebih suka dipanggil dengan gelarnyaa. Rasanya jd lebih dihargai katanya mah. Hmm.. ya gapapaa. Sama aja ky orang yg lebih suka dipanggil ma nama panggilannya daripada nama lengkapnya. :) Repotnyaa, klo yg 1 pake gelar, yg lainnya jg kudu digelariin. Jadi terpaksa semuanya ditulis pake gelar.. Hwaaaa..

I would like to express my gratitude and appreciation of the following:

• Assoc. Prof. Dr. rer. nat. Bobby Eka Gunara, M.Si., my supervisor, for suggesting the problem. This thesis would not have been possible without the guidance, encouragement, and overall, enthusiastic support of Assoc. Prof. Bobby Eka Gunara. For that, I am very grateful.

• Asst. Prof. Dr. rer. nat. Sparisoma Viridi, my co-supervisor, for the very useful discussion and the encouragement. His kindness and constant interest during the course of the study makes working under him a very pleasant experience.

• Assoc. Prof. Bambang Ariwahjoedi and Dra. Sofiati Kasuma, my beloved parents, for almost everything, which can never be mentioned one by one. Without them, my life would never be the same. Thank you very much for introducing me the beauty of sciences and arts. I am very grateful.

• Dr. Jusak Sali Kosasih and Dr. Fatimah Arofiati Noor, the reviewers of my thesis, for the time they had spent to read and reviewed my thesis, and also for the interesting question during the final session.

• Yttria Ariwahjoedi, S.T. and Grafitya Ariwahjoedi, my art-lovers sister and brother, for the artistic touch in my thesis. Especially for Yttria, I would like to thanks for those corel-things.

• Teja Kesuma, S.Si., my boyfriend very special friend, for the every-minute encouragement. Thank you very much for listening all my grumbles whenever I felt stuck with my thesis.

• Dr. Abdul Waris, Prof. Umar Fauzi, and Dr. Widayani for the Beasiswa Voucher ITB 2009-2010 recommendation and for their help in suspension of my tuition fees payment.

• Dr. Euis Sustini, Dr. Neni Kurniasih, Prof. Mitra Djamal, and Dr. Rizal Kurniadi, for their kindness and the recommendation letters.

• Prof. Triyanta, for the Quantum Field Theory lecture, Dr. Premana W. Premadi for the Cosmology lecture, and Dr. Hesti Retno Wulandari, for the Relativistic Astrophysics lecture.

• Mr. Daryat and Mr. Yeye Burhanuddin, for always helping me at the administration problem.

• Nyayu Siti Nurainun S.Si., Anggie Dewi Sonya, S.Si., Teta Pratiwi, S.Si, and Indri Lisdiani, S.T. for those every silly moments. That's what friends are for. ^^

• Fiki Taufik Akbar, M.Si., Fakhrul Rozi, M.Si., Agus Suroso, M.Si., Trisna Utami, Muhammad Alhafish and all members of Institut Teknologi Bandung Theoretical Physics Laboratory for the friendship and encouragements. Hopefully we can all become a good theoretician.

• Beasiswa Voucher ITB 2009-2010, for scholarships given to me for one year.

• All academic, staff members, librarians and students of Institut Teknologi Bandung, and all my friends which can not be mentioned one by one.

Terimakasih semuanyaaa.. Sebenernya masiih banyaak yg pngn gw ucapiin. Tapi biar ga keliatan terlalu personal terpaksa di-cut. Doakaan semoga sera bisa jadi ahli fisika yg baikhati dan bahagia. ^^

application to GR*.

(In Indonesian pleaze!)

Sebelumnyaaa.. Pngn curhaaat! Parah kaliii! Selasa gw sidang dan sekaraaang, gw masih ngetikh2 draft! Beda bgt ma jamannya s1. Draft gw beres 10 hari sebelum hari-H, dan sekarang ini, -3 hari sblm sidang, harusnya gw lg bikin slide, bukan draft! Haaaaaa! Ayo2 ceritaaa!

Darimana yah gw ceritanyaa? Binguuung.. -__- Dari relativitas khusus gitu? Kepanjangan ntar. Gw ga mau penguji2 gw eneg baca draft gw. Hiks.. 

Well, ada 2 massa yg dikenal dalam fisika. Apa itu massa? Definisi pertama: Massa adalah kuantitas kelembaman benda terhadap gaya atau percepatan, dari Hukum II Newton F=ma. Definisi kedua: Massa adalah suatu kuantitas benda yg menyebabkan terjadinya gaya tarik menarik pada benda bermassa yg lainnya, dari Hukum Gravitasi Universal Newton F=GMm/r^2. Yg pertama disebut inertial mass, yg kedua disebut gravitational mass. Dulu pas awal2 belajar GR gw amath sangath kesulitan utk ngebedain 2 massa ini, gara sejak awal gw belajar mekanika di SMP (atw SMA?) ga dijelasin ttg 2 massa ini. Yg ada cm massa, ya m yg di cth2 soal aja.  Tiap di ruas kanan n ruas kiri ada huruf m, langsung coreeet! Haaaa! Gw janji ntar klo punya anak2 murid akan gw jelasin dari awal bahkan sebelum dy bisa corat coret klo massa inertial n gravitasi itu bedaaaa! 

Tapi sebenernya ga masalah jg nganggep massa inersial n massa gravitasi itu sama, karena, secara experimen, massa inersia n gravitasi ini tak terbedakan a.k.a ekivalen. Percobaan yg ngebuktiin klo ga salah namanya neraca Cavendish (setau gw Cavendish itu nama pisang) n yg lebih modernnya lg itu percobaan Eotvos. Eh ngga deng! Yg pertama itu galileo. Dy membuktikan klo semua benda itu bakal jatuh dengan percepatan yg sama, tidak peduli berapapun massa inersialnya. Karena ituuu.. bila F yg diberikan pada benda adalah F dari gaya gravitasi, maka: 

m'a=GmM/r^2

m' =massa inersial benda yg dijatuhkan

m = massa gravitasi benda yg dijatuhkan

M = massa gravitasi bumi.

Haaaah! Jelek bgt yah blog gw ga bisa gw pasang LaTeX ga kaya blog orang2! -____-

Karena setiap benda di bumi jatuh dengan percepatan yg samaa, tidak peduli berapapun massa inersial baik massa gravitasinya, maka a harus sama dengan GM/r^2, dan sebagai akibatnya, m'=m. Okok.. Mungkin  ga tepat m'=m, tapi mungkin m'=km. dengan k adalah konstanta. Ya gapapa dong.. ntar kan si k-nya tinggal dimasukin aja ke G. Heuu.. 

Tetep aja intinya mah ga berubah: massa inersial dan massa gravitasi itu tak terbedakan. Ini lah yg disebut dengan 'weak equivalence principle' (WEP). Menurut Einstein "ini tidak kebetulan", maka dari prinsip inilah beliau berangkat merumuskan GR. 

Sebelumnya, special relativity (SR biar cepet) berlaku hanya utk kerangka2 yg bergerak secara seragam 1 sama lainnya, i.e. bergerak dengan kecepatan tetap dan tidak ada percepatan. Sekarang (dulu!) beliau mau melakukan generalisasi yg berlaku utk kerangka2 yg bergerak tidak harus seragam, yg secara umum lintasannya melengkung membentuk kurva. Apa yg menyebabkan kecepatan benda tidak seragam? Secara klasik, gaya lah yg menyebabkannya. Skrng misalkan kita abaikan gaya2 kontak dan hanya ada gaya gravitasi aja di sistem yg kita tinjau. Gaya gravitasi ini, berbeda ma gaya2 lain, adalah 'action-at-a-distance' gaya yg bisa bekerja 'seketika' langsung memberikan efek ke benda lain tanpa harus kontak fisik atau make perantara apapun. 

Dari WEP dapat diturunkan pernyataan: 'sistem dalam pengaruh gravitasi g tidak terbedakan dengan sistem yg mengalami percepatan sebesar g', dikenal dengan strong equivalence principle.  Ini generalisasi dari pernyataan: 'sistem yg bergerak beraturan dengan kecepatan v tidak terbedakan dengan sistem yg diam' yg merupakan konsekuensi dari SR. Pernyataan diatas menyebabkan kerangka yg jatuh bebas krn gravitasi (i.e. freely falling frame) tidak merasakan 'gaya'. Bayangin aja klo semua benda di sekitar ttp diem terhadap kita, krn bergerak dngn kecepatan seragam ma kita, darimana kita bisa berkesimpulan klo kita lg dikenai gaya? :P Halahh.

Karena hal ini lah maka Einstein berasumsi (atw berteori tepatnya) bahwa tidak ada 'gaya' gravitasi, dan gravitasi itu hanyalah efek dari terdistorsinya ruang-waktu akibat kehadiran massa-energy. Hmm.. Bila utk kasus khusus sekali mekanika Newtonian, ruang tmpt adanya massa itu adalah Ruang Euclidean 3 dimensi, untuk kasus lumayan khusus SR ruang-waktu tmpt adanya massa adalah Ruang Minkowski 4 dimensi (ruang dan waktu digabung jadi ruangwaktu, 1.e. waktu termasuk salah 1 dimensi), maka untuk kasus umum GR, ruang waktunya adalah suatu Lorentzian manifold. Ruang yg terdistorsi ini lah yg beliau anggap sebagai ruang 'lengkung'. :)

Oleh karena itu, untuk mengimplementasikan (gw jg ga tau artinya implementasi. tapi nampak cocok. :D) GR, secara matematis, digunakan differential geometry. Hahaaa.. :D

Now, the problem is how to translate these into English. -_______-

Bertahaan!

(*tidak semua yg gw tulis itu benar. Hahahaa.)

ceritakuu ttg geometri.. (1)

Hmm.. Merasa perlu bercerita sebelum sidang. Biar ntar klo ditanya gw ga gelagapan. Hehehe.. :D

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pertama-tama..

apa itu 'ruang'?

Secara intuitif, gw bakal bilang ruang adalah 'tempat' segala-sesuatu-yg-ada berada. Well, secara matematis, definisi ruang jg ga gitu berbeda.. Secara matematik, ruang yg paling umum (dimana semuanya bisa tumplek disitu) disebut ruang topologis (topological space), simpelnya, ruang. Klo nyebut 'ruang' di matematik, yg dimaksud sebenarnya ruang topologis.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nah sekarang qt ngomongin 'segala-sesuatu-yg-ada'. Apa segala-sesuatu-yg-ada ini? Secara matematik, segala-sesuatu-yg-ada ini disebut objek matematika. Objek matematik ini harus bersifat objektif untuk semua observer, sehingga objek2 ini bisa diklasifikasikan menurut sifat2nya (i.e., contoh objek yg tidak objektif: wanita cantikh. Cantikh itu subjektif. Haha..) Kumpulan objek2 berdasarkan sifatnya ini  disebut himpunan matematika.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sekarang kembali ke definisi ruang topologis. Misalkan ada himpunan T dan himpunan X. Himpunan X punya subset himpunan x (jadi anggota si X itu dimasuk2in lagi ke himpunan yg lebih kecil x). Himpunan T disebut ruang topologis bila:

1. Himpunan kosong {} dan X adalah himpunan bagian dari T.

2. Irisan subset2 merupakan himpunan bagian dari T.

3. Gabungan subset2 x merupakan himpunan bagian dari T.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Apa alasan pendefinisian ruang topologi seperti ini? 

Secara intuisi.. Anggap himpunan X adalah kumpulan segala-sesuatu-yg-ada.. Anggap himpunan topologis adalah ruang tempat segala-sesuatu-yg-ada berada. X berada di dalam T. Untuk menjamin tidak ada segala-sesuatu yg berada di luar ruang T, maka didefinisikan (2) dan (3). Irisan serta gabungan subset2 x, juga anggota ruang T. Dengan demikiaan, aman semuanya. Tidak ada 'segala-sesuatu' yg berada di luar ruang topologis. Ga ada yg kececeran. Hahaa..

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Begitulaah.. Semoga benar. ^^ 

..to be continued.

pusiing.. (-_-')

Hmmmpph! Yaaa.. Setelah sekian lamaaa, ahirnya gw kembali nulis2 di blog ga penting iniii. Berati gw lg butuh curhat disaat orang2 pada sibuk n ga sempet mendengarkaan. n ga mungkin jg curhat di fb, gila aje. Soalnya gw mo curhatin ttg tesis gw. Heuheuheu.. Bisa dikira apaan gw ntar.. (0_o')

Well.. Sejauh ini, alhamdulillah gw dah dapetin bentuk metrik yg diinginkan. Lalulalu.. Kata my supervisor (gw ga ingin menyebut nama disini..) berati ada 2 jalur yg bisa dipilih, (dan sepertinya beliau mengharapkan gw ngerjain 2-2nyaa.. (-_-') yeeaaah.. it's OK selama ga memperlambat waktu lulus gw. hiks.) jalur pertamaa, ngebahas lebih dalam tentang geometri si metrik yg bersangkutan, jalur kedua, aplikasi bwt termodinamika multi-blackhole. OMG.. tentu saja gw lebih milih ngerjain jalur kedua lebih dahuluuu.. (gw masih ♥ termodinamik).

Dan ternyataaa.. suliiiiiiiiiiiiiiiit. (-_-') (hah. apa sih yg gampang di dunia ni.). Yeaa.. gw ngebahas metrik untuk kasus blekhowl tunggal dan ganda. Blekhowl tunggal ga da masalah, cuma ttg Killing vector-nya yg gw masih agak2 raguu. Blekhowl ganda niiiiii! (-____-') coba yah.. dari awal, gw (kita, tepatnya) dah membuat agar si metrik menggambarkan si titik singular / sumber / atau apapun namanya lah itu STATIK. Statik disini berati dy (si titik singular) dan otomatis kelengkungan ruang yg disebabkan olehnyaa, tidak berubah bila ditransformasikan terhadap suatu kordinat tertentu, yg disini gw (tepatnya, kita) pilih sebagai kordinat waktu, secara manifold yg gw (tepatnya, kita) lubang2in itu manifold ruangwaktu. 

Berartiii.. Seandainya metrik yg gw punya barusan itu dipake bwt merepresentasikan suatu physically exist, maka dy dapat menggambarkan blekhowl ganda yang statik, tidak berotasi, tidak membesar tiba2, intinya mah, diam dan duduk manis di tempatnya. (^^). Yaaaaa.. Awalnya memang ga da masalah, (selain event horizon n real singularity yg terbalik, tapi bisa dibenerin dengan pergantian kordinat), ampe saat gw menghitung event horizon si blekhowl ganda. Seperti yg dah diduga, radius event horizonnya bergantung sudut, i.e., dy hanya axially simetrik, dan tidak mungkin konstan. Haa. Ini gambar event horizonnya: 

Untuk massa1 = massa2 = 4*pi, dan jarak kedua blackhole 0.075. Bagus kan? (^^)

Awalnya gw ga nyadar n fine2 ajah. Ampe mo ngitung surface gravity-nyaa.. baru ketauan ada yg aneh disini. Secara event horizonnya tidak konstan, maka surface gravity-nya juga ga mungkin konstan. Dan karena surface gravity-nya tidak konstan, maka blackhole-nya tidak mgkn statik, bahkan tidak mgkn utk sekedar stasioner (berubah terhadap waktu, tetapi waktu tidak muncul secara explisit pada metriknya, inget mekanika analitik.).

OK2, mungkin gw kurang tepat klo ngitung surface gravity-nya dari event horizon, karena harusnya dari Killing horizon. Tapi sama ajaa! Ada conjecture yg bilang, utk blackhole stasioner, Killing horizonnya timelike, dan bertumpuk dengan event horizon. Klo blackhole statik, ada tambahan, selain dy itu stasioner, Killing vectornya harus hypersurface ortogonal (masih bingung jg gw ma ini).

Mau gimana juga ngitung surface gravitynya, dari event or Killing horizon, tetep aja didapat kesimpulan, sistem blackhole ganda tidak statik. Sok atuh, pertama misalkan qt itung surface gravity-nya dari event horizon, berati surface gravity-nya ga konstan (karena event horizonnya ga konstan), dan sistem blekhowl ganda tidak stasioner (apalagi statik). Sedangkaan, klo qt itung dari Killing horizonnya, (blm gw lakuin), tapi seandainya gw dpt Killing-nya konstan, maka si Killing ini ga sama dngn event horizon, yg berati menyalahi conjecture diatas. Berati tetep si blekhowl ganda ini tidak statik.

Dimana salahnyaaa? Pernyataan bahwa: "surface gravity yg tidak konstan pertanda ketidakstasioneran" atau conjecture-nya yg kurang tepat? Gw mensyaratkan di awal bahwa 2 blekhowlnya statik, tapi ahirnya malah gw dpt kesimpulan, 2 blekhowl lo ga mgkn statik, bahkan ga mungkin sekedar stasioner?

STATIK

Bagaimanaaa iniiiiiiiii?  (-________-')

manifolds.

Ayo2 sera, jgn malas! :D
Pngn nyoba jelasin manifold tanpa persamaan. Heu.. Mulainya dari manaa? *berpikir*


Dari himpunan. :D Himpunan (dlm matematika) adalah suatu kumpulan. Kumpulan apa? Kumpulan objek2 matematika, seperti bilangan, bentuk, dll. Trus, klo kita mw mengkorelasikan anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan lain, kita butuh suatu korelasi (atau koneksi?) yg namanya fungsi. Ntar ada pemetaan dll. Hah. Ko jadi pusing gw. :(


Yaudah. Gampangnya aja.. Manifold adalah suatu ruang topologis yg secara lokal bersifat Euclidean (ruang datar). Apa itu 'ruang'? Blm tau gw. Klo ruang vektor linear, gw tau.. Dari definisi ruang vektor linear, kynya gw bisa ambil kesimpulan klo ruang itu yg pastinya adalah suatu himpunan, yg memenuhi kondisi2 tertentu (mungkin ada aksioma yg lebih umum dari aksioma ruang vektor..). Himpunan dari apaa? Dgn kata lain, klo manifold itu 'tempat hidup' suatu objek matematika, apa yg hidup di manifold itu? Hmm.. 'kurva'? 'permukaan'? 'hypersurface'? vektor? ada banyaaaak.. Anggep aja manifold itu suatu himpunan, dan di dalam himpunan manifold itu bisa dibikin banyak sub-himpunan, ntah itu surface, curve, vektor, dll..


Mungkin lebih tepatnya manifold itu bisa dibilang suatu sistem matematika. Apa itu sistem matematika? Sistem matematika = himpunan + operasi pada himpunan tersebut. Eh tunggu duluu.. Di manifold belum didefinisikan operasi deh.. Jadi harusnya blm bisa dibilang sistem matematika..


Klo ruang topologi? Apa itu? Suatu himpunan yg memenuhi 3 syarat. Ada syarat Hausdorff, ada counting apaaa gituh, gw lupa, 1 lg gw lupa. Pokonya syaratnya itu ada 3 ajah. N itu menyangkut pembentukan sub-himpunan di dalam himpunan tersebut. Bisa jg dijabarin syaratnya pake open ball gitu2. Hah. Apa2an. Gw bukan mathematician! :(


Terus? *berpikir lagi*


Intinya, manifold itu 'ruang' dan 'ruang' itu himpunan. Dan sesuai dngn prinsip analytical geometry-nya descartes, aljabar dan geometry bisa disatuin. Mksdnya, suatu representasi aljabar dapat dinyatakan dalam representasi geometry. Dengan demikian, suatu manifold, dapat dianggap sebagai suatu 'permukaan'. (bener ga yah?) :(


Bentar2.. Yg namanya permukaan itu berati menyatakan suatu 'bidang berdimensi-n' terhadap 'ruang datar' berdimensi n+1. Berati utk mendefinisikan suatu manifold dimensi n, kita butuh ruang datar berdimensi n+1? Hmmm.. ternyata tidak perluu. Suatu manifold berdimensi-n tetap dapat dinyatakan hanya dengan ruang dimensi-n. Ntar ada yg namanya teorema egregium-nya Gauss, n gw blm nyampe sana. Ayo semangaaath! :)


Lalulalu? *berpikir*


Tadi kan si manifoldnya dapat dianggap suatu permukaan yah? Hmm.. Sekarang, gimana cara-nya kita mulai memberikan struktur pada manifold tersebut. Awalnya, manifold kan cuma himpunan.. Primitif. Skrng kita pengen si manifold ini jadi 'himpunan yang..'. Lebih khusus.


Pertama, yg paling umum.. Sifat homeomorfisme. Misalkan ada 2 buah manifold. Dan 2 buah manifold ini direlasikan oleh suatu fungsi F. Bila inverse F ada, bersifat 1-1 dan onto, dan F beserta inverse-nya kontinu, maka kedua manifold ini dikatakan homeomorfik (sama secara topologis). Dengan pendefinisian homeomorfisme ini, maka -menurut topologist- sebuah donat itu sama dengan sebuah cangkir, yg cantelan tangannya cuma 1.

(gambar dari web adik gw, gw ambil diam2.. sorry sis!)

Setelah itu, pada suatu manifold, dapat dibuat suatu peta permukaan, disebut patch. Analoginya itu misalkan manifold itu permukaan bumi (permukaan suatu bola memang merupakan suatu manifold), trus kita mau bikin peta bumi! Dengan kata lain, kita mau mengkover permukaan bumi dengan suatu peta. Untuk bikin peta, tentu saja kita butuh sistem koordinat. Berati, yg harus kita lakuin pertama itu tentuin sistem koordinatnya, tentuin titik nol (origin) sistem koordinat, lalu mulai kita mebuat peta. Peta suatu manifold disebut atlas.


Secara umum, suatu manifold tidak dapat dipetakan hanya dengan menggunakan satu sistem koordinat saja. Dengan demikian suatu sistem koordinat, secara umum, hanya akan berlaku lokal pada suatu manifold. Tidak global. Ini maksudnya kalimat "..yg secara lokal bersifat Euclidean (ruang datar)."


Karena itu, suatu manifold dapat dipetakan secara lengkap dengan menggunakan lebih dari 1 sistem koordinat. Peta lengkap ini disebut dengan atlas/chart. Dengan adanya atlas ini, berati suatu manifold telah dipetakan, dan kita dapat melakukan kalkulus padanya (blm ngerti mksdnya apa).


Terus? *berpikir lagi*
Hoooo.. masuk dulu ke differential manifolds. Udah kepanjangan.. ganti halaman baru ajaaa.. :D

(link yg bagus: http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold)